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勾股定理是什么意思

日期:2019-07-08?|? 作者:本站原创?|? 23 人围观!


    勾股定理是什么意思

据不完全统计,勾股定理的证明方法已经多达400多种了。 下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的直角三角形围在外面形成的。 因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,化简得。 第二种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。 因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式,化简得。

这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。

【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a2+b2+4×1/2ab=c2+4×1/2ab,整理得a2+b2=c2【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于2/1ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于1/2c2.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)2.∴1/2(a+b)2=2×1/2ab+1/2c2.∴a2+b2=c2.【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。

由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。 于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。 ”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。 ”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。 他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统。 ”证法。

【证法4】欧几里得证明做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面积等于1/2a2,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴矩形ADLM的面积=a2.同理可证,矩形MLEB的面积=b2.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴c2=a2+b2,即a2+b2=c2.【证法5】利用相似三角形性质证明如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.在ΔADC和ΔACB中,∵∠ADC=∠ACB=90o,∠CAD=∠BAC,∴ΔADC∽ΔACB.∴AD∶AC=AC∶AB,即AC2=AD·AB.同理可证,ΔCDB∽ΔACB,从而有勾股定理的历史2_html_51f314b4.∴AC2+BC2=(AD+DB)·AB=AB2,即a2+b2=c2【证法6】邹元治证明以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1/2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)2.∴(a+b)2=4×1/2ab+c2.∴a2+b2=c2.【证法7】利用切割线定理证明在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B的切线.由切割线定理,得AC2=AE·AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2即b2=c2-a,∴a2+b2=c2.【证法8】作直角三角形的内切圆证明在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,∴AC+BC-AB=(AE+CE)(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=r+r=2r,【证法9】利用多列米定理证明在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图).过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有【证法10】辛卜松证明设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为∴。


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